منابع تحقیق با موضوع ساده سازی، ایزومتریک، دو قطبی

به دست می آوریم:
(1-123)
اما چون تابع های دلخواهی اند، پس باید نتیجه گرفت:
(1-124)
به این ترتیب نتیجه می گیریم این تانسور انرژی نسبیت عامی پایسته است و با صفر شدن تانسورانیشتین در معادلهی انیشتین سازگار است .
فصل دوم: از معادلات میدان اینشتین تا گرانش مغناطیسی
فصل دوم
از معادلات میدان اینشتین تا گرانش مغناطیسی
2-1 از معادلات میدان اینشتین تا گرانش مغناطیسی
نظریه نسبیت عام، گرانش مغناطیسی را به عنوان میدان ناشی از حرکت جرم پیش بینی می‌کند. یکی از حالت‌های مهم در این مورد، حرکت چرخان یک توزیع جرم کروی است. همان طور که می‌دانیم چنین توزیع جرمی زمانی که در حال سکون قرار دارد در خارج خود یک میدان شوارتزشیلد تولید می‌کند که متریک آن به صورت زیر است:
(2-1)
که در آن شعاع شوارتزشیلد است [18].
هنگامی که میدان گرانشی ضعیف و ایستا11 است و ذرات در میدان گرانشی با سرعتی کم (در مقایسه با سرعت نور) حرکت می‌کنند، نظریه نسبیت عام اینشتین به گرانش مغناطیسی را پیش بینی می‌کند. در حالتی که توزیع جرم محدود است، میدان در فاصله‌های بسیار دورتر از شعاع شوارتزشیلد12 ضعیف می‌باشد و در واقع میدان گرانشی به عنوان اختلالی در فضا- زمان مینکوفسکی13 در نظر گرفته می‌شود، به طوری که متریک فضا-زمان مختل شده توسط میدان گرانشی ضعیف به صورت
(2-2)
است که در آن ، متریک مینکوفسکی و ، اختلال است. در این حالت قدر مطلق پتانسیل‌های اختلالی معمولاً بسیار کوچک می‌باشند و برای منظومه شمسی تقریباً داریم [10]:
2-2 معادلات خطی میدان
از معادله اینشتین شروع می‌کنیم:
(2-3)
انحرافات کوچک از فضا زمان مینکوفسکی مانند (1-2) است.
اگر تبدیل این مؤلفه‌ها را به صورت زیر در نظر بگیریم:
(2-4)
در نقطه‌ی P، تحت تبدیلات بسیار کوچک مختصات خواهیم داشت:
(2-5)
با جایگذاری رابطه قبل در (4-5) عبارت زیر حاصل می‌شود:
(2-6)
تمام محاسبات را تا مرتبه اول از ، و مشتقات آن‌ها انجام می‌دهیم؛ از این رو خواهیم داشت :
(2-7)
(2-8)
و از مرتبه اول عبارت زیر را به دست می‌آوریم:
(2-9)
از آنجا که
(2-10)
خواهیم داشت:
(2-11)
در تقریب خطی این تبدیل پیمانه‌ای خوانده می‌شود. در این تقریب در حالت کلی، مؤلفه‌های تانسور متریک تحت تبدیل پیمانه‌ای ناوردا نیستند؛ در حالتی که مؤلفه‌های تانسور متریک تبدیل پیمانه‌ای ناوردا باشند، آن تبدیل ایزومتریک نامیده می‌شود بردار ، بردار کیلینگ14 و ، معادله‌ی کیلینگ می‌باشد.
در تقریب مرتبه اول hµν می‌توانیم از ضرب نمادهای کریستوفل در معادله
(2-12)
صرف نظر کنیم، آنگاه تانسور خمش ریمانی به صورت زیر خواهد بود [15]:
(2-13)
که در آن
(2-14)
از این رو
(2-15)
بنابراین تانسور ریچی با تقریب مرتبه اول به صورت زیر است:
(2-16)
که در آن
(2-17)
عملگر موج دالامبر در فضای مینکوفسکی می‌باشد و اسکالر ریچی به صورت زیر بدست می‌آید:
(2-18)
تانسور خطی شده‌ی اینشتین به صورت زیر می‌باشد:
(2-19)
بنابراین معادلات خطی میدانی فرم زیر را به خود می‌گیرند:
(2-20)
بر ای ساده سازی، عبارت زیر را تعریف می‌کنیم:
(2-21)
که رد معکوس15 نامیده می‌شود؛ چون داریم: h ̅=-h
در نتیجه معادلات میدان را به صورت زیر ساده می‌کند:
(2-22)
برای ساده سازی بیشتر معادلات، یک تبدیل پیمانه‌ای انجام می‌دهیم. آنگاه متریک تبدیل شده‌ی به
صورت زیر تبدیل می‌شود:
(2-23)
با انتخاب تابع‌های پیمانه‌ای αξ به صورتی که در رابطه‌ی 0 صدق کنند، نتیجه می‌شود:
(2-24)
دستگاه‌های مختصاتی که از پیمانه لورنتز پیروی می‌کنند، هارمونیک نامیده می‌شوند.
معادله‌ی (1-24) همان شرط لورنتز یا پیمانه لورنتز گرانشی است و تحت این شرایط معادلات میدان به شکل ساده‌ی زیر در می‌آید :
(2-25)
که شبیه به شکل هموردای معادلات ماکسول است:
(2-26)
حل مربوط به آن می‌تواند دقیقاً بر حسب پتانسیل‌های تأخیری در الکترودینامیک نوشته شود[36]:
(2-27)
در نتیجه جواب‌های تأخیری برای معادله‌ی (2-25)، عبارتند از:
(2-28)
نقش پتانسیل برداری الکترومغناطیسی از طریق پتانسیل تانسوری ، اعمال می‌شود درحالی‌که نقش چار-جریان به وسیله تانسور تنش _انرژی ،اعمال می‌شود.
جواب‌هایی را جستجو می‌کنیم که برای آن‌ها و از عبارت‌های دیگر صرف نظر می‌کنیم [15].
معادله‌ی موج (2-25) در حالتی که Tµν=0، یعنی در خلأ به شکل آشنای زیر در می‌آید:
(2-29)
T00∕c2 ═ρ «بار-جرم» است و جرم کل سیستم به صورت زیر می‌باشد:
M═∫▒〖ρd^3 x〗
می‌توان جواب‌های مربوط را به صورت زیر نوشت:
(2-30)
(2-31)
که در آن Φ پتانسیل «گرانش الکتریکی» یا نیوتنی:
(2-32)
و A پتانسیل برداری گرانشی مغناطیسی بر حسب تکانه ی زاویه‌ای کل سیستم، s، می‌باشد[36]:
(2-33)
و ijkε تانسور پادمتقارن کامل لویی چیویتا در سه بعد است. در حالی که ji═Ti0∕c نشان دهنده چگالی جرم- جریان16 است.
پیمانه لورنتز بر حسب پتانسیل‌های Φ و A ، به شکل زیر در می‌آید:
(2-34)
که جدا از عامل (1/2)، همان شرط لورنتز الکترومغناطیسی است[13،18]. اکنون میدان‌های گرانش الکتریکی و
گرانشی مغناطیسی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(2-35)
با استفاده از تعاریف اخیر و نیز تعریف چگالی جرم (T00 ═ c2 ρ) و چگالی جریان (ji c ═Ti0)، معادلات ماکسول را برای گرانش الکترومغناطیسی بدست می‌آوریم:
(2-36)
معادلات میدان اینشتین در این فرم، مطابق با حل‌هایی هستند که میدان را در اطراف جسم چرخان و بر حسب پتانسیل‌های گرانش مغناطیسی و گرانش الکتریکی توصیف می‌کنند؛ بنا بر تعاریف (1-30) و (1-31) تانسور متریک برای فضای اطراف جسم چرخان به صورت زیر است [15] :
(2-37)
در حد نیوتونی، Φ به پتانسیل گرانشی نیوتن کاهش می‌یابد، در حالی که می‌باشد.
شرط پیمانه عرضی17 نیز به فرم زیر کاهش می‌یابد:
(1-38)
میدان‌های گرانش الکترومغناطیسی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(2-39)
که مشابه با الکترومغناطیس است و:
(1-40)
بعلاوه بعد از اعمال شرط پیمانه‌ی (فصل دوم) می‌توان نشان داد که:
(2-41)
همان طور که همین انتظار هم می‌رفت معادلات میدان شامل معادله پیوستگی، ، نیز می‌باشد.
میدان گرانشی را می‌توان از طریق مقایسه با الکترومغناطیس درک نمود؛ برای مثال میدان گرانش مغناطیسی یک جسم چرخان (در گرانش ضعیف) را می‌توان به صورت یک میدان دو قطبی نوشت:
(2-42)
که در آن S، تکانه ی زاویه‌ای است؛ با استفاده از فرمول بندی حاضر، می‌توان نشان داد که معادله ژئودزیک ذره در یک میدان جسم چرخان با گرانش ضعیف همانند معادله حرکت تحت نیروی لورنتز است؛ در واقع با توجه به معادله ژئودزیک :
(2-43)
برای یک ذره‌ی غیر نسبیتی ( )، سرعت به صورت است؛ با صرف نظر کردن از عبارت‌هایی به شکل و در حالت پایا18، ( ) می‌توان نشان داد که معادله ژئودزیک به صورت زیر است [27،29] :
(2-44)
مناسب است که شکل متریک (2-37) را در مختصات کروی نیز داشته باشیم؛ برای این منظور فرض می‌کنیم که توزیع منبع در اطراف مرکز مختصات فضایی محدود شده باشد آنگاه در حالت چرخش غیر نسبیتی (کند چرخان)
منبع و فاصله دور از آن می‌توان نشان داد که پتانسیل‌های برداری. اسکار به صورت زیر است [3,4] :
(2-45)
که در آن و M و Jجرم و اندازه حرکت زاویه‌ی هستند و از این رو متریک (1-37) در مختصات کروی
به صورت زیر در خواهد آمد:
(2-46)
2-3 قضیه لارمور در گرانش
برای گسترش گرانش الکترومغناطیسی به گونه‌ای که نزدیک‌ترین ارتباط را با فرمول‌بندی استاندارد الکترودینامیک داشته باشد، تعریفی را می‌پذیریم که بیان واضحی را از قضیه لارمور گرانشی ارائه دهد. فرض می‌کنیم ذره آزمون با جرم سکون m، دارای بار گرانش الکتریکی19 qE= -m و بار گرانش مغناطیسی qB = -2m باشد.
برای منبعی که چرخان است و دارای جرم M می‌باشد بارهای نظیر آن‌ها مثبتند به ترتیب qe = M و qB =2M می‌باشد که برای حفظ خصلت جاذبه‌ای گرانشی این امر ضروری است. نسبت بار گرانش مغناطیسی به بار گرانش الکتریکی همواره 2 است، زیرا گرانش خطی سازی شده‌ی میدانی با اسپین 2 می‌باشد [12]. برای میدان با اسپین 1 مانند نظریه‌ی ماکسول این نسبت برابر واحد است.
قضیه لارمور در ابتدا معادلی موضعی20 بین مغناطیس و چرخش برقرار ساخت [11]. در واقع نیروی الکترومغناطیسی روی یک ذره آزمون با جرم m و بار q، در تقریب خطی مشابه با نیروی وارد بر ذره آزاد
نسبت به یک سیستم مرجع شتابدار با شتاب انتقالی و فرکانس چرخش به صورت زیر است:
(2-47) ΩL=qB B/2mc
در الکترومغناطیس qE = qB = q، و برای تمام ذرات با نسبت بار به جرم مشابه، q/m، میدان الکترومغناطیسی می‌تواند با سیستم شتابدار مشابهی جایگزین شود. این شرایط یک ویژگی عام در گرانش است، نسبت بار به جرم برای تمام ذرات بر اساس اصل هم ارزی گرانش و جرم سکون، یکسان است. از این رو برهم کنش گرانشی منجر به نظریه هندسی گرانشی می‌شود که همان نسبیت عام می‌باشد. رویکردی مشابه به الکترودینامیک امکان پذیر نیست زیرا q/m برای ذرات مختلف می‌تواند مثبت، منفی و یا صفر باشد [13].
برای گسترش شباهت گرانشی قضیه لارمور، از بخش قبل می‌دانیم که در تقریب خطی نسبیت عام گرانش خارجی21 (بیرونی) یک منبع چرخان می‌تواند بر حسب میدان‌های گرانش الکترومغناطیسی توصیف شود. در یک همسایگی نزدیک از ناحیه بیرونی می‌توان به طور موضعی، میدان‌های گرانش الکترومغناطیسی را یکنواخت در نظر گرفت؛ پس این میدان‌ها را می‌توان به صورت موضعی با یک سیستم شتابدار در فضا- زمان مینکوفسکی جایگزین نمود.
به این منظور یک ناظر شتابدار روی جهان خط را در نظر می‌گیریم. در اینجا τ زمان ویژه ناظر، و نیز و به ترتیب بردارهای سرعت و شتاب می‌باشند. اگر چارچوب چارتایی به هنجار مربوط به ناظر باشد به گونه‌ای که و:
(2-48)
که تانسور پاد متقارن شتاب ناظر است. مشابه با تانسور فارادی، شامل یک بخش «الکتریکی» ، ، و یک بخش «مغناطیسی» است. در اینجا a و ، اسکالرهای فضا زمان می‌باشند که به ترتیب نشانه دهنده شتاب انتقالی و فرکانس چرخش چارچوب فضایی نسبت به چارچوب موضعی غیر
چرخان (یعنی چهارچوب انتقالی فرمی-واکر22) است.
اکنون یک دستگاه ژئودزیک مربوط به مختصات را در جهان خط ناظر در نظر می‌گیریم؛ در هر رویداد، τ در مسیر جهان خط، خطوط ژئودزیک فضا گونه‌ی عمود بر جهان خط، یک ابر-صفحه را ترسیم می‌کند که فضایی اقلیدسی است.
اگر مختصات یک

Author: y7oozita

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *