دانلود پایان نامه ارشد با موضوع ناسازگاری، نسبیت خاص

(1-7)
نتیجه می‌شود :
(1-8)
که در آن
(1-9)
می‌توان پارامتر مسیر را طوری تعیین کرد که سمت راست معادله صفر بشود:
(1-10)
این خم‌های ژئودزیک می‌توانند زمان-گونه،نور-گونه یا فضا –گونه باشند. اگر قرار باشد مسیر حرکت آزاد ذره‌ای دنبال شود،پس باید با ژئودزیکی زمان گونه سر و کار داشته باشیم.
گیریم در یک میدان گرانش ضعیف باشیم، یعنی:
(1-11)
در این صورت باید داشته باشیم:
(1-12)
بنابراین معادله ژئودزیک می‌شود:
(1-13)
برای شاخص‌های گوناگون داریم:
اما
(1-14)
و از آنجا
(1-15)
پتانسیل گرانشی است. گیریم توزیع جرمی کروی داشته باشیم و بخواهیم حرکت را در نزدیکی آن بررسی کنیم. در این صورت:
(1-16)
بنابراین:
(1-17)
و متریک به دست می‌آید [47]:
(1-18)
1-4 گرانش به عنوان یک میدان تانسوری در فضای مینکوفسکی
اینشتین برای فرمول بندی نسبیت عام، بنا را بر اصل هم ارزی گذاشت. اصل ماخ که مجموعه‌ای از ایده‌هاست، انگیزه‌ی مهمی در فرمول بندی نسبیت عام بود. بنابراین اصل، ماده‌ی موجود در جهان تعیین کننده‌ی ساختار فضا- زمان است. به تعبیر دیگر مفاهیم(لخت) و (نا چرخان) بدون وجود ماده در جهانی بی معنی می‌شوند. اما می‌توان این سوال را نیز مطرح کرد: چرا نتوان گرانش را در فضا- زمان تخت مینکوفسکی فرمول بندی کرد. یعنی با این فرض که ساختار فضا-زمان ثابت است،چه اشکالی در فرمول بندی گرانش پیش می‌آید.
اولین بار پوانکاره در سال 1905 کوشید گرانش نیوتونی را در قالب نسبیت خاص درآورد. نورداستروم در سال 1912 یک نظریه‌ی میدان نسبیتی با استفاده از یک میدان نرده‌ای برای گرانش فرمول بندی کرد. اینشتین و فوکر در سال 1914 و برگمن در سال 1956 نیز نظریه‌های نرده‌ای برای گرانش ارایه دادند. پیشگویی تمام این نظریه‌ها در مورد انحراف نور و پیشروی حضیض عطارد با داده‌های مغایرت دارد.
1-5 لاگرانژی فیرتز- پائولی
برای بیان گرانش به صورت یک میدان نسبیت خاصی، میدانی متناظر با ذره‌ای به جرم سکون صفر در نظر می‌گیریم، در غیر این صورت برد برهم کنش گرانشی متناهی می‌شود که مغایر با تجربه است. به علاوه ذره‌ی واسط برهم کنش گرانشی(گراویتون) نمی‌تواند فرمیون باشد. فرمیون بی جرم با اسپین 2/1 (نوترینو) جوابگوی گرانش نیست و همین طور فرمیون های دیگر همین‌گونه است. از میان بوزون ها نیز میدان نرده‌ای متناظر با اسپین صفر جوابگوی گرانش نیست. ذره‌ی اسپین یک با یک میدان برداری نمایش داده می‌شود که به الکترودینامیک می انجامد و ذرات واسط آن بار مثبت و منفی دارند. به این ترتیب انتظار می‌رود گراویتون، ذره‌ی واسط برهم کنش گرانشی، دارای اسپین دو باشد که الزاماً با یک میدان تانسوری نمایش داده خواهد شد. فیرتز و پائولی برای اولین بار در دهه‌ی 30 قرن گذشته لاگرانژی یک میدان تانسوری بی جرم را در چارچوب نسبیت خاص فرمول بندی کردند.
لاگرانژی فیرتز-پائولی به این صورت است:
(1-19)
این لاگرانژی تحت تبدیلات پیمانه‌ای
(1-20)
ناورداست. در اینجا توابع دلخواه وK ثابت دلخواهی است با بعد معکوس جرم. K را با معکوس جرم پلانک یکی می‌گیریم:
که در آن G ثابت نیوتون است .معادلات اویلر-لاگرانژ، معادلات میدان به صورت زیر در‌ می‌آیند:
(1-21)
که در آن عملگر چنین تعریف شده است:
(1-22)
می‌توان نشان داد که این عملگر برای ‌ای متقارن در اتحاد زیر صدق می‌کند:
(1-23)
که آن را اتحاد به یانکی می‌نامند.
مطالعه‌ی جزی‌تر و حرکت یک ذره در آن میدان گرانش برای اولین بار توسط تیرینگ انجام شده است. تیرینگ نشان داد که در تقریب اول حرکت ذره در این میدان به گونه‌ای است که گرچه میدان در فضای مینکوفسکی نوشته شده است اما ذره روی مسیری حرکت می‌کند که مانند فضازمان ری‌مانی با متریک
و مسیر یک خم ژئودزیک آن است. پس به نظر می‌رسد حرکت ذره در حضور گرانش به گونه‌ای است که متریک فضای تخت معنی خود را از دست می‌دهد و به جای آن متریک فضای ریمانی می‌نشیند، و (ذره‌ی آزاد) در این میدان روی ژئودزیک های این فضا حرکت می‌کند. تیرینگ این واقعیت را تنها در تقریب اول نشان داد. به این معنی که بیان حرکت ذره در میدان تانسوری معادله‌ی میدان را ناسازگار می‌کرد و برای رفع این ناسازگاری افزودن جمله‌هایی از مرتبه‌ی دوم میدان به معادله‌ی میدان الزام آور می‌شد. تیرینگ رفع این ناسازگاری را که در هر مرتبه ظاهر می‌شد تنها تا همان مرتبه‌ی دوم حساب کرده بود.
برای درک بهتر این ناسازگاری ،میدان فیرتز-پائولی را به ماده‌ی دلخواهی جفت می‌کنیم. گیریم تانسور انرژی تکانه ی ماده در میدان باشد،پس معادله‌ی میدان به صورت زیر در می‌آید:
(1-24)
اما از این معادله‌ی میدان نتیجه می‌شود که واگرایی باید صفر باشد:
(1-25)
که این شرط اضافی بر رفتار ماده و میدان است. بنابراین معادله‌ی میدان با خواص ماده ناسازگار است. برای رفع این
ناسازگاری جمله‌ی را به سمت راست معادله می‌افزاییم:
(1-26)
جمله‌ی تانسور انرژی تکانه ی میدان تانسوری تلقی می‌شود، پس باید از مرتبه‌ی دوم در میدان باشد و این جمله هم باید در اتحاد زیر صدق کند:
(1-27)
پس خواهیم داشت:
(1-28)
این تانسور افزوده از مرتبه‌ی دوم در تانسور میدان است. در این مرحله متوجه می‌شویم که برای سازگار کردن معادلات میدان به ناچار جملات ناخطی (مجذوری) در سمت چپ معادله‌ی میدان وارد شده‌است. این جملات مجذوری باید ناشی از یک لاگرانژی مرتبه‌ی سوم در باشد. اما تانسور انرژی تکانه ی لاگرانژی ، از مرتبه‌ی سوم است.
روش تیرینگ این ناسازگاری را در حرکت ذره به خوبی به تصویر می‌کشد و نشان می‌دهد که برای رفع آن باید مسیر ذره را خمی ژئودزیک در فضای ری‌مانی در نظر گرفت. به این ترتیب سازگاری معادلات میدان منجر به جمع زدن روی یک سری بین‌هایت می‌شود. اوگیه وتسکی و پولوبارینوف در سال 1965 نشان دادند که این سری بینهایت به معادلات نسبیت عام اینشتین می‌انجامد. این محاسبه به حدی پیچیده بود که توجه چندانی به آن نشد، گرچه نتیجه آن پذیرفته شد [48].
1-6 بردار و همبردار
گیریم Fمجموعه‌ی (فضای) توابع مشتق پذیر Fروی Mدر همسایگی P باشد. آن گاه بردار مماس در نقطه Pرا به این صورت تعریف می‌کنیم:
(1-29)
به گونه‌ای که شرط زنجیره‌ای برقرار باشد:
این بردارهای مماس یک فضای برداری تشکیل می‌دهند و به سهولت می‌توان دید که باید یک بردار باشد:
(1-30)
فرض کنیم مختصات داده شده باشد، پس می‌توانیم طبق شرط زنجیره‌ای بنویسیم:
(1-31)
که در آن بردار (عملگر) u است که روی تابع عمل می‌کند. مؤلفه های بردار نسبت به این مختصات به صورت زیر است:
پس می‌نویسیم:
(1-32)
به این ترتیب n بردار مماس را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(1-33)
پس می‌توان هر بردار را به صورت ترکیب خطی این n بردار نوشت. استقلال خطی این بردارها از روی مؤلفه‌هایشان دیده می‌شود:
(1-34)
1-7 هم بردار
هم- بردار یا بردار همزاد (دوگان)، یک فونکسیونال (تابعال) خطی است روی فضای بردارهای TPیک هم – بردار است هرگاه به ازای داشته باشیم:
(1-35)
شرایط خطی بودن را می‌نویسیم:
(1-36)
ضرب هم- بردارها در یک عدد و نیز جمع آن‌ها به صورت زیر تعریف می‌شوند:
(1-37)
به این ترتیب، هم برادرها یک فضای برداری تشکیل می‌دهند: TP، که به آن فضای همزاد مماس و نیز فضای هم مماس گفته می‌شود. برای تعریف پایه در فضای TP از پایه‌های ei در فضای TPاستفاده می‌کنیم.
(1-38)
حالا تابعال هایی را که بردار u را بهui می‌نگارد با ei نشان می‌دهیم:
(1-39)
بنابراین می‌توانیم بنویسیم:
(1-40)
می‌دانیم که eهم-بردار است. برای داریم:
(1-41)
اگر تعریف کنیم آن گاه به علت دلخواه بودن u:
(1-42)
از تعریفe برمی‌آید که این هم بردارها نیز مستقل از یکدیگرند. بنابراین، می‌توان e-ها را بردارهای پایه در فضای هم مماس تلقی کرد. اکنون به عنوان یک مثال، دیفرانسیل یک تابع را در نظر می‌گیریم. اگر f تابع دلخواهی باشد، df را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(1-43)
می‌نویسیم:
(1-44)
یعنی دیفراسیلی که اینجا تعریف کردیم یک هم برداراست که بیانگر بخش متناهی دیفراسیل متعارف بدون جمله‌ی بین‌هایت کوچک ds است . اکنون اگر باشد می‌توان نوشت:
(1-45)
چون ei پایه TP است نتیجه بالا به دست می‌آید. به همین دلیل هم بردارها را تک فرم دیفرانسیلی نیز می‌نامند و dxi-ها را می‌توان یک پایه در فضای هم- مماس تلقی کرد. این پایه، { dxi}، همزاد (دوگان)پایه‌ی { } در فضای مماس است. هم- بردارها را بردار هموردا و همین طور بردارها را بردار پادوردا می‌نامند[49].
1-8 خم وخم ژئودزیک
نگاشت از بازه ی به خمینه ی Mرا یک خم می‌نامیم. پس به ازای هر پارامتر tیک نقطه روی خمینه تعریف می‌شود. مجموعه بردارهای مماس در نقطه‌های روی خم را می‌توان میدانی برداری در امتداد خم نامید. هر گاه هم که میدانی برداری وابسته به یک پارامتر روی خمینه تعریف شود می‌توان خمی به آن وابسته دانست که میدان برداری در هر نقطه همان بردار مماس برخم به معنی متعارف آن باشد. در این صورت از خم انتگرالی میدان برداری صحبت می‌کنیم. به این ترتیب هم می‌توان دید که مشتق هموردا در امتداد بردار X متناظر با انتقال موازی در امتداد خم انتگرالی بردار X است.
اکنون خم را در نظر می‌گیریم. با استفاده از مشتق هموردا مشتق جدیدی وابسته به خم،یا مشتق هموردا در امتداد میدان برداری،تعریف می‌کنیم که آن را با نشان می‌دهیم. مشتق هموردای تانسور دلخواه Tدر امتداد برابر است با که در آن بردار پادوردای وابسته به پارامتر t است. حالا مشتق هموردا در امتداد بردار را این گونه می‌نویسیم:
(1-46)
که در آن X بردار مماس است.با انتخاب مختصات،خم با مختصات بیان می‌شود:
(1-47)
به این ترتیب برای یک میدان برداری Y مشتق هموردا می‌شود:
(1-48)
توجه داریم که .
با این تفسیر از انتقال موازی می‌گوییم Y در امتداد به طور موازی منتقل می‌شود هر گاه:
(1-49)
به منظور درک بهتر این مفهوم انتقال دو نقطه p و q را روی خم در نظر می گیریم انتقال موازی با تعبیر بالا برای برادرها

Author: y7oozita

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *