منابع تحقیق با موضوع دینامیکی

ر این مفهوم انتقال دو نقطه p و q را روی خم در نظر می گیریم انتقال موازی با تعبیر بالا برای برادرها را حالا می توان به هر تانسور در فضای مماس تعمیم داد. این اتقال موازی نگاشتی است خطی که را به می برد. این نگاشت یک ایزومورفیسم است. مثلا یک پایه در qبه یک پایه در pمنتقل می شود. خمی راژئودزیک می نامیم که بردارمماس براین خم ، یعنی بردار ، در امتداد به موازات با خودش منتقل شود،یعنی همواره بر خم مماس بماند. بردار منتقل شده، یعنی:
به شرطی با خودش موازی است که
(1-50)
باشد پارامتر t را می توان طوری اختیار کرد که ضریب f صفر شود. در این صورت پارامتر خم را آفین می نامیم و حالا با s نشان می دهیم:
(1-51)
پس هر گاه بردار مماس را روی خم را به صورت بنویسیم، شرط
انتقال موازی بردار مماس،یا شرط ژئودزیک بودن خم، می شود:
(1-52)
1-9 متریک
تا اینجا برای هیچ یک از مفهوم‌هایی که مرتبط با خمینه تعریف کردیم احتیاج به متریک نبود، یعنی هنوز مفهومی برای تعیین فاصله روی خمینه نداریم.حتی برای تعریف پیچش و انحنا نیز به تعریف فاصله نیاز نبود. اکنون می‌پردازیم به مفهوم متریک، تانسوری است ناتکین از نوع (2 و0) و متقارن:
(1-53)
در پایه موضعی می‌نویسیم
(1-54)
پس مؤلفه های متریک می‌شود
(1-55)
که بنا بر تعریف متقارن است. در مختصات موضعی ،یا پایه‌های هولونرم،می‌توان نوشت
(1-56)
چون متریک ناتکین و متقارن است وارون ماتریس مؤلفه های آن، ،وجود دارد:
(1-57)
به کمک این ماتریس وارون می‌توان تانسوری از نوع (0 و2) ساخت:
(1-58)
به کمک تانسورهای و می‌توان هر تانسور T از نوع (s،r) را با حفظ مرتبه تغییر داد:
(1-59)
همین روابط بر حسب مؤلفه‌ها می‌شود:
(1-60)
هرگاه را در یک نقطه قطری کنیم، آنگاه کمیت
را نشانگان متریک می‌نامند.
اگر:
(1-61)
در این صورت شاخص‌ها با عمل مشتق گیری هموردا جا به جا پذیرند:
(1-62)
این ویژگی در محاسبه‌های تانسوری مؤثر است:
(1-63)
و یا:
(1-64)
این رابطه با انتخاب مختصات موضعی می‌شود:
(1-65)
اکنون پیچش را صفر فرض می‌کنیم. پس در شاخص‌های پایین متقارن است.
در نتیجه:
(1-66)
که همان نمادهای کریستوفل می‌باشند.
فاصله دو نقطه روی خمینه، و ، را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(1-67)
برای فاصله دو نقطه 1 و 2 :
اکنون با استفاده از متریک می‌توان برای مفاهیمی که تاکنون تعریف کرده‌ایم تفسیر جدیدی بیابیم. چند نمونه را در زیر می‌آوریم. به کمک متریک حاصل ضرب داخلی دو بردار X وY را به صورت که در هر نقطه یک عدد است تعریف می‌کنیم. پس می‌نویسیم
(1-68)
بنابراین،می‌توان چنین تعبیر کرد که متریک به هر بردار u یک هم بردار نسبت می‌دهد:
(1-69)
چون یک نگاشت خطی روی Tp است،پس یک هم بردار است. تأثیر این نگاشت در مؤلفه‌ها به صورت پایین آوردن شاخص است. عمل معکوس،یعنی نسبت دادن یک بردار به هم- بردار با معکوس متریک انجام می‌شود. این گونه است که بردارها و هم- بردارها به هم وابسته می‌شوند و ما در فیزیک معمولاً تفاوت آن‌ها را فراموش می‌کنیم.
در اثرانتقال موازی در امتداد خمی در Mحاصل ضرب داخلی دو بردار Xو Yتغییر نمی‌کند.
(1-70)
انتقال موازی به معنی 0=DX است.
پایه‌ی متعامد معمولاً به مختصات بستگی دارند. اما همواره می‌توان پایه‌های ناهولونرم را طوری تعریف کرد که
(1-71)
متریک اجازه می‌دهد خم ژئودزیک نوع دیگری تعریف کنیم. خمی را ژئودزیک بگوییم که فاصله‌ی میان هر دو نقطه‌ی آن کمینه (فرینه)باشد. اگر این فاصله را S بنامیم، داریم:
(1-72)
و سپس مسئله‌ی فرینال را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(1-73)
خمی که را صفر می‌کند، ژئودزیک نامیده می‌شود. انتگرال ده را از زیر رادیکال در می‌آوریم و می‌نویسیم:
(1-74)
معادله اویلر- لاگرانژ بر اساس L نوشته می‌شود:
(1-75)
اما
(1-76)
بنابراین:
(1-77)
یا
(1-78)
ادغام با می‌دهد:
(1-79)
این معادله‌ی خم ژئودزیک است که قبلاً ، بدون اینکه متریک تعریف شده باشد به دست آمد. بنابراین، خم ژئودزیک، به معنی خمی که بردار مماس آن همواره به موازات خودش منتقل می‌شود، اگر هم وستار را متناظر با متریک بگیریم همان خم فرینه است.
این معادل ژئودزیک را حالا بر حسب سرعت می‌نویسیم:
(1-80)
داریم:
(1-81)
پس
(1-82)
این رابطه برای پارامتر آفین به دست آمده است. اگر پارامتر آفین نباشد باید بنویسیم:
(1-83)
که در آن φ تابعی دلخواه است.
1-10 شکل اصلی متریک کر
متریک کر را می‌توان به مختصات دکارتی به صورت زیر نوشت:
(1-84)
که در آن:
(1-85)
در نتیجه داریم:
(1-86)
واضح است که متریک کر همه جا تحلیلی است مگر در:
(1-87)
در حالت کلی این متریک‌ها به صورت زیر هستند:
(1-88)
این شکل متریک را شکل کر-شیلد می‌نامند. جواب‌هایی از معادله اینشتین که به این سبک نوشته می‌شوند دسته معروفی از جواب‌ها هستند که متریک کر یکی از آن‌ها است[49].
1-11 بردارکیلینگ و تقارن
خمینه ای در نظر می گیریم که روی آن یک متریک تعریف شده باشد. معمولاً مشتق لی متریک در امتداد یک میدان برداری دلخواه صفر نمی‌شود. این یعنی این که متریک در امتداد خم انتگرالی میدان برداری تغییر می‌کند. اما اگر میدانی برداری پیدا شود که این مشتق لی را صفر کند، یعنی:
(1-89)
پس آن گاه باید نوعی تقارن سرو کار داشته باشیم.
به این منظور با استفاده از مفهوم خم انتگرالی تعبیر دیگری از مشتق لی می‌آوریم. می‌توان نشان داد که مشتق لی هر تانسور در امتداد هر میدان برداری برابر است با
(1-90)
که در آن بردار دلخواهی است که انتقال را تعریف می‌کند،یعنی به این ترتیب مشتق لی متریک پس از کمی محاسبه می‌شود:
(1-91)
بنابراین شرط تقارن، وجود برداری است که در رابطه‌ی زیر صدق کند:
(1-92)
برداری که در این رابطه صدق کند یک بردار کیلینگ نامیده می‌شود، که بیانگر یک ایزومتری خمینه است. به طور مثال روی کره‌ی 2-بعدی بردارهای و بردارهای کیلینگ هستند و خم‌های =ثابت و =ثابت خم‌های انتگرالی این میدان‌های برداری‌اند.
1-12 مختصات ریمان
مختصات دکارتی در فضای اقلیدسی ساده‌اند. خطوط مختصاتی ژئودزیک اند. تعمیم این حالت به فضای ریمانی به معنی استفاده از خم‌های ژئودزیک برای خط‌های مختصاتی است. اگر بیانگر یک خم مختصاتی ژئودزیک باشد، داریم:
(1-93)
این معادله را حول نقطه‌ی بسط می‌دهیم:
(1-94)
که در آن .
از معادله‌ی ژئودزیک به دست می‌آوریم:
(1-95)
در نتیجه:
(1-96)
گیریم مختصات جدید در نزدیکی به صورت باشد. یعنی:
(1-97)
این تبدیل مختصات را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(1-98)
این تبدیل تا مرتبه‌ی s2 صادق است. به عبارت دیگر تعریف مختصات جدید یکتا نیست. اختلاف دو دسته مختصات از مرتبه‌ی s2 است . معادلات ژئودزیک از نقطه ی در مختصات جدید همان است.
شکل متریک در این مختصات به صورت زیر تبدیل می شود:
(1-99)
حالا معادله ی ژئودزیک را در این مختصات با مقایسه می‌کنیم، پس:
(1-100)
زیرا ها بردار دلخواه هستند. به همین دلیل در نقطه ی 0=s داریم:
(1-101)
یعنی مشتقات اول در این نقطه صفر می شود:
(1-102)
می توان نشان داد در این نقطه . تبدیل مختصات در این نقطه باعث تبدیل خطی مختصات ریمان می شود.
مختصاتی که در مبدا آن ، مختصات بهنجار ریمان خوانده می شود.
1-13 فرمول بندی لاگرانژی نسبیت عام
ساده ترین راه برای ساختن کمیتی نرده ای از متریک و مشتقات آن است که با انجام ادغام روی تانسور انحنا به دست آید، یعنی استفاده از نرده ای ریچی. با توجه به اینکه در فضای ریمانی با متریک دلخواه هستیم، لاگرانژی باید به صورت چگالی باشد. در حالت کلی می نویسیم:
(1-103)
که منظور از ، لاگرانژی ماده است. بخش اول را که مربوط به گرانش است لاگرانژی هیلبرت می نامند. اشکال ظاهری لاگرانژی هیلبرت این است که ظاهرا مشتق مرتبه ی دوم متریک آن است، که در این صورت منجر به دینامیکی می شود که در آن مشتق مرتبه ی سوم میدان حضور دارد که مطلوب نیست. ابتدا نشان می دهیم که جمله های مشتق دوم به صورت مشتق یک تانسور وارد می شوند که در کنش برای به دست آوردن معادله ی دینامیکی بی اثر است.
1-14 شکل کنش هیلبرت
لاگرانژی به این صورت است:
(1-104)
جملات با مشتق دوم متریک در دو جمله ی اول پیش می آید که آنها را به طریق زیر تغییر می دهیم:
(1-105)
مشتق را با استفاده از روابط زیر حساب می‌کنیم:
(1-106)
(1-107)
در نتیجه داریم:
(1-108)
به این ترتیب مشتق های و به حاصلضرب می شود. نهایتا به دست می آوریم:
(1-109)
که در آن
(1-110)
بنابراین لاگرانژی موثر کمیتی است که تنها مشتق مرتبه ی اول متریک را در بردارد . نکته ی قابل تامل این است که G یک کمیت نرده ای نیست، مثلا در مبدا مختصات ریمان G برابر صفر می شود . اما داریم:
(1-111)
چون سمت چپ ناوردا است پس سمت راست نیزباید ناوردا باشد. علت آن است که گرچه ها تانسور نسیتند، اما تفاضل ها ، یا تانسور است. گرچه جمله ی متناسب با G لاگرانژی موثر است، اما چون وردش G ساده نیست، بهتر است وردش مستقیما با انجام شود.
1-15 وردش لاگرانژی ماده و محاسبه ی انرژی تکانه
هر گاه (چگالی) لاگرانژی یک میدان باشد، تانسور انرژی آن از رابطه ی زیر به دست می آید:
(1-112)
A، مجموعه ای از شاخص های بیانگر متغیر میدان است و معمولا تانسوری متقارن نیست. برای اینکه بتوان تکانه ی زاویه ای تعریف کرد (که پایسته باشد)، باید آن را متقارن ساخت. روش های متقارن سازی گوناگونی وجود دارند و با
اضافه کردن جمله ای به شکل که در شاخص های پادمتقارن است:
(1-113)
(1-114)
در فضای ریمانی روش ساده ی دیگری وجود داردکه معمولا در نسبیت عام از آن استفاده می شود. برای این منظور وردش S را در ازای وردش متریک حساب می‌کنیم. این وردش کمیت پایسته ای به دست می دهد که همان تانسور انرژی ماده است. وردش متناظر با میدان مادی از کنش ماده، منجر به معادله ی میدان ماده در حضور گرانش می شود. پس ابتدا کنش کل را این گونه می نویسیم:
(1-115)
وردش قسمت گرانش به دست می دهد:
(1-116)
برای وردش قسمت مادی،با توجه به اینکه وردش را در مرز صفر می گیریم، به دست می آوریم:
(1-117)
حالا تعریف می‌کنیم:
(1-118)
در این صورت:
(1-119)
به این ترتیب وردش کنش کل، S=Sg+SM، می دهد:
(1-120)
که درآن
از طرف دیگر، با توجه به اینکه کنش SM یک کمیت نرده ای است، تغییرات آن را تحت تبدیل مختصات می توانیم صفر بگیریم. اگر این تغییر را به ازای تغییر محاسبه کنیم به همان عبارت می رسیم. حال تغییر مختصات را این گونه تعریف می‌کنیم:
(1-121)
به ازای این تغییر می توان نشان داد:
(1-122)
با نشاندن این تغییر بر حسب مشتقات

Author: y7oozita

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *